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函数的概念与性质基础知识回顾函数是初中数学的重要概念，表示两个变量之间的依赖关系。给定一个数集D，对于集合D中的任意两个数x和y，如果存在一种对应关系f，...

函数的概念与性质基础知识回顾函数是初中数学的重要概念，表示两个变量之间的依赖关系。给定一个数集D，对于集合D中的任意两个数x和y，如果存在一种对应关系f，使得通过这个关系，x在D中能且只能对应一个y，则称y是x的函数，记作y=f(x)。其中，x叫自变量，y叫因变量。常见题型解析函数解析式的求解典型例题及解析例题一求函数解析式已知函数f(x)满足f(x+1) = f(x) + x + 1，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。【分析】本题主要考查了函数解析式的求解，根据条件得到递推关系式，再利用待定系数法是解决本题的关键。【解答】解：由$f(x + 1) = f(x) + x + 1$，得$f(x + 1) - f(x) = x + 1$。则$f(2) - f(1) = 2$，即$f(2) - 1 = 2$，得$f(2) = 3$。$f(3) - f(2) = 3$，即$f(3) - 3 = 3$，得$f(3) = 6$。$f(4) - f(3) = 4$，即$f(4) - 6 = 4$，得$f(4) = 10$。所以可猜想出$f(x) = x^{2} - x$。下面用数学归纳法进行证明：$(1)$当$x = 1$时，由已知得$f(1) = 1^{2} - 1 = 0$，结论成立。$(2)$假设当$x = k(k \in N^{})$时结论成立，即$f(k) = k^{2} - k$，则有$f(k + 1) = f(k) + k + 1 = k^{2} - k + k + 1 = (k + 1)^{2} - (k + 1)$。即当$x = k + 1$时结论也成立。结合$(1)(2)$可得对一切正整数，结论都成立。且当$x \in N^{}$时，结论也成立。综上所述：函数$f(x)$的解析式为：$f(x) = x^{2} - x,x \in N^{*}$或$f(x) = x^{2} - x,x \in R$.2. 例题二：函数的值域的求解求函数$y = \frac{4}{x} + 9(x \neq \pm 2)$的值域。【分析】本题主要考查了函数的值域的求解，反比例函数的性质是解决本题的关键。利用反比例函数的性质进行求解即可．【解答】解：当$x > 0,y = \frac{4}{x} + 9 \geqslant 9 + 2\sqrt{\frac{4}{x} \cdot \frac{4}{x}} = 9 + 4 = 13$，当且仅当$\frac{4}{x} = \frac{4}{x}$时取等号．当$x < 0,y = \frac{4}{x} + 9 \leqslant 9 - 2\sqrt{\frac{4}{x} \cdot \frac{4}{x}} = 9 - 4 = 5$，当且仅当$\frac{4}{x} = \frac{4}{x}$时取等号．综上可知函数的值域为${ y|y \geqslant 13$或$y \leqslant 5}$．一次函数和反比例函数基础知识回顾一次函数一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，k≠0。当b=0时，它成为正比例函数，表示为y=kx反比例函数反比例函数是形如y=k/x的函数，其中k是常数，k≠0常见题型解析一次函数的图象和性质考察一次函数的图象，包括与坐标轴的交点、单调性等反比例函数的图象和性质考察反比例函数的图象，包括与坐标轴的交点、单调性等一次函数和反比例函数的综合应用结合一次函数和反比例函数的性质，解决一些实际问题典型例题及解析例题一一次函数的图象和性质已知一次函数y=kx+b的图象经过点(2,3)和(-1,-6)，求这个一次函数的解析式，并画出其图象。【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，并画出其图象。根据已知条件列出方程组，求出k、b的值即可得到一次函数的解析式。再根据解析式画出其图象即可。【解答】解：$\left{ \begin{matrix} 2k + b = 3 \k + b = - 6 \\end{matrix} \right$解得$\left{ \begin{matrix} k = 3 \b = - 3 \\end{matrix} \right$.，则一次函数的解析式为y=3x-3。其图象是一条直线，过点(2,3)和(-1,-6)例题二反比例函数的图象和性质已知反比例函数y=k/x的图象经过点(3,4)，求这个反比例函数的解析式，并画出其图象。【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，并画出其图象。根据已知条件列出方程，求出k的值即可得到反比例函数的解析式。再根据解析式画出其图象即可。【解答】解：$\because$反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点$(3,4)$，$\therefore k = 3 \times 4 = 12$，$\therefore$这个反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}$。其图象是双曲线，分别位于第一、三象限。