多元函数微分法PPT
多元函数微分法是一个用于研究多元函数变化率的重要工具。它是微积分在多维空间中的推广，不仅在实际问题中有广泛应用，也是数学分析和其他数学分支的重要基础。一、...
多元函数微分法是一个用于研究多元函数变化率的重要工具。它是微积分在多维空间中的推广，不仅在实际问题中有广泛应用，也是数学分析和其他数学分支的重要基础。一、基本概念设 $D$ 是 $n$ 维实数空间 $\mathbb{R}^n$ 中的一个点集，如果对于每一个点 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in D$，变量 $z$ 按照某种确定的对应关系有唯一值 $z = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 与之对应，则称 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 为定义在点集 $D$ 上的 $n$ 元函数，简称 $n$ 元函数，点集 $D$ 称为函数的定义域，记作 $D_f$。设函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的某邻域内有定义，当固定 $x_2, \ldots, x_n$ 而 $x_1$ 在 $x_1$ 处有增量 $\Delta x_1$ 时，相应地函数有增量 $\Delta z = f(x_1 + \Delta x_1, x_2, \ldots, x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$。如果 $\lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x_1}$ 存在，则称此极限为函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 处对 $x_1$ 的偏导数，记作 $f_{x_1}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 或 $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$。类似地，可以定义 $f$ 对 $x_2, \ldots, x_n$ 的偏导数。如果函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的某邻域内所有偏导数都存在，则称 $f$ 在该点可微。此时，$f$ 在该点的全微分定义为：$\Delta z = f(x_1 + \Delta x_1, x_2 + \Delta x_2, \ldots, x_n + \Delta x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} f_{x_i}(x_1, x_2, \ldots, x_n) \Delta x_i + o(\rho)$其中，$\rho = \sqrt{(\Delta x_1)^2 + (\Delta x_2)^2 + \ldots + (\Delta x_n)^2}$，$o(\rho)$ 是 $\rho$ 的高阶无穷小。二、基本定理与公式常数函数的偏导数为零和、差、积、商的偏导数可以通过各自的偏导数计算得到复合函数的偏导数可以利用链式法则计算对于 $n$ 元函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，可以连续求偏导数，得到高阶偏导数。例如，二阶偏导数 $f_{x_1x_2}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 表示先对 $x_1$ 求偏导数，再对 $x_2$ 求偏导数。全微分 $\Delta z$ 可以表示为各偏导数与相应自变量增量的乘积之和，即 $\Delta z = \sum_{i=1}^{n} f_{x_i}(x_1, x_2, \ldots, x_n) \Delta x_i$。如果 $n$ 元函数 $F(x_1, x_2, \ldots, x_n, y)$在点 $(x_0, y_0)$ 的邻域内连续，且 $F(x_0, x_2, \ldots, x_n, y_0) = 0$，$F_{y}(x_0, x_2, \ldots, x_n, y_0) \neq 0$，则方程 $F(x_1, x_2, \ldots, x_n, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的邻域内能唯一确定一个隐函数 $y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，且 $f$ 在该点可微，其偏导数由公式 $f_{x_i} = -\frac{F_{x_i}}{F_y}$ 给出（$i = 1, 2, \ldots, n$）。三、多元函数的极值如果函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $P_0(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0)$ 处取得极值，那么 $f$ 在 $P_0$ 处的各偏导数必为零，即 $f_{x_i}(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0) = 0$（$i = 1, 2, \ldots, n$）。设 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $P_0(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0)$ 的邻域内有一阶及二阶连续偏导数，且 $f_{x_i}(x_1^0, x_2^0, \ldots, x_n^0) = 0$（$i = 1, 2, \ldots, n$）。令 $A = D^2f(P_0)$ 为 $f$ 在 $P_0$ 处的二阶偏导数组成的 $n$ 阶行列式，则：当 $A > 0$ 且 $f_{x_1x_1}(x_1^0x_2^0, \ldots, x_n^0) > 0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 处取得极小值当 $A > 0$ 且 $f_{x_1x_1}(x_1^0x_2^0, \ldots, x_n^0) < 0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 处取得极大值当 $A < 0$ 时$f$ 在 $P_0$ 处不取极值四、方向导数与梯度设函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 可微，向量 $\mathbf{l} = (l_1, l_2, \ldots, l_n)$ 是从点 $P$ 出发的某个方向，则 $f$ 在点 $P$ 沿方向 $\mathbf{l}$ 的方向导数定义为：$f'\mathbf{l}(P) = \lim{t \to 0^+} \frac{f(x_1 + t l_1, x_2 + t l_2, \ldots, x_n + t l_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{t}$方向导数可以理解为函数在给定方向上的变化率。函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的梯度是一个向量，记作 $\nabla f(P)$ 或 $\text{grad} f(P)$，其定义为：$\nabla f(P) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(P), \frac{\partial f}{\partial x_2}(P), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(P) \right)$梯度的方向是函数在该点增长最快的方向，其模长等于该点的方向导数的最大值。五、多元函数的泰勒公式
