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习题一：判断函数的单调性1. 函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在区间 $解：求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$令 $f'(...

习题一：判断函数的单调性1. 函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在区间 $解：求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$令 $f'(x) = 0$解得 $x = 0$ 或 $x = 2$判断单调区间2. 函数 $g(x) = \ln(x) - \frac{1}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性。解：求导数$g'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$由于 $g'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} > 0$ 对于所有 $x \in (0+\infty)$ 都成立，所以函数 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增习题二：求函数的最大值和最小值1. 求函数 $h(x) = x^2 - 4x + 5$ 在区间 $解：求导数$h'(x) = 2x - 4$令 $h'(x) = 0$解得 $x = 2$判断极值点2. 求函数 $p(x) = \sin x$ 在区间 $解：由于 $\sin x$ 在 $[0\pi]$ 上是周期函数，其最大值和最小值分别出现在 $\frac{\pi}{2}$ 和 $0$（或 $\pi$）因此最大值为 $p\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$，最小值为 $p(0) = \sin 0 = 0$习题三：求解函数的单调区间1. 求函数 $q(x) = x^2 - 2x - 3$ 的单调区间。解：求导数$q'(x) = 2x - 2$令 $q'(x) = 0$解得 $x = 1$判断单调区间2. 求函数 $r(x) = \frac{1}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调区间。解：求导数$r'(x) = -\frac{1}{x^2}$由于 $r'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ 对于所有 $x \in (0+\infty)$ 都成立，所以函数 $r(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减综合练习题1. 讨论函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的单调性，并求出极值点及对应的极值。解：求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$令 $f'(x) = 0$解得 $x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$判断单调区间2. 函数 $g(x) = x^2 - 4|x| + 3$，求该函数的单调区间。解：$g(x)$ 也是分段函数，需要分两段考虑：3. 求函数 $h(x) = \ln(x) - \frac{x^2}{2}$ 在 $(0, +\infty)$ 上的最大值。解：求导数$h'(x) = \frac{1}{x} - x$令 $h'(x) = 0$解得 $x = 1$判断单调性